İçindekiler
1Faktoriyel Nedir?
Faktoriyel, bir pozitif tam sayinin kendisi dahil 1'e kadar olan tüm pozitif tam sayıların çarpımidir. Permutasyon ve kombinasyon formüllerinin temelini oluşturur.
n! = n x (n-1) x (n-2) x ... x 2 x 1
"n faktoriyel" olarak okunur
Özel durumlar: 0! = 1 ve 1! = 1 olarak tanimlanir. Bu tanimlari kabul etmek formüllerimizin tutarli çalışmasıni sağlar.
Önemli Faktoriyel Degerleri
Pratik Bilgi
Faktoriyel sadeleştirilirken büyük olandan küçüğüne doğru acilir. Örneğin: 8! / 6! = 8 x 7 = 56 (6! kısımlari sadeleşir).
2Permutasyon Nedir?
Permutasyon, n farklı nesneden r tanesini sıralı olarak seçme ve dizme işlemine denir. Permutasyonda sıra önemlidir — aynı elemanlar farklı sırada dizilirse farklı bir sonuç sayilir.
P(n, r) = n! / (n - r)!
n elemandan r tanesinin sıralı seçimi
Örnek: Yarış Sirasi
8 sporcu arasında ilk 3 sıranın kaç farklı şekilde oluşabilecegini bulalım:
P(8, 3) = 8! / (8-3)! = 8! / 5!
= 8 x 7 x 6 = 336
336 farklı sıralama mümkündür.
Özel Permutasyon Türleri
- 1.Tekrarlı Permutasyon: n elemandan bazıları aynı ise: n! / (n1! x n2! x ... x nk!)
- 2.Dairesel Permutasyon: n elemanı daire şeklinde dizme: (n-1)!
- 3.Tam Permutasyon: n elemanın hepsini dizme: P(n, n) = n!
3Kombinasyon Nedir?
Kombinasyon, n farklı nesneden r tanesini sırasız olarak seçme işlemine denir. Kombinasyonda sıra önemli değildir — aynı elemanlar farklı sırada seçilirse aynı sonuç sayilir.
C(n, r) = n! / (r! x (n - r)!)
n elemandan r tanesinin sırasız seçimi
Örnek: Takım Seçimi
10 öğrenciden 4 kisilik bir komisyon kaç farklı şekilde oluşturulabilir?
C(10, 4) = 10! / (4! x 6!)
= (10 x 9 x 8 x 7) / (4 x 3 x 2 x 1)
= 5040 / 24 = 210
210 farklı komisyon oluşturulabilir.
Önemli Özellikler
C(n, r) = C(n, n-r) yani 10'dan 3 seçmek ile 10'dan 7 seçmek aynı sonucu verir. Ayrica C(n, 0) = C(n, n) = 1 ve C(n, 1) = n'dir.
4Permutasyon ve Kombinasyon Farkları
| Özellik | Permutasyon | Kombinasyon |
|---|---|---|
| Sira | Önemli | Önemli değil |
| Soru kaliplari | "dizme, sıralama, yerlestirme" | "seçme, oluşturma, grup" |
| Formüla | n! / (n-r)! | n! / (r! x (n-r)!) |
| Sonuc | Daha büyük | Daha küçük |
| İlişki | P(n,r) = C(n,r) x r! | C(n,r) = P(n,r) / r! |
Nasil Karar Verilir?
Soruda "dizme, sıralama, yerlestirme" gibi ifadeler varsa permutasyon; "seçme, oluşturma, grup kurma" gibi ifadeler varsa kombinasyon kullanılır. Anahtar soru: "Sıra değişse sonuç değişir mi?"
5Problem Türleri ve Çözüm Yöntemleri
Şifre / Plaka Problemleri (Permutasyon)
Sıralı dizilim gerektiren problemlerdir. Her başamak için kaç seçim yapılabilecegi çarpım kuralı ile hesaplanır.
3 rakamli, rakamları farklı şifre sayısı: 10 x 9 x 8 = 720
Komisyon / Takım Seçimi (Kombinasyon)
Sırasız seçim gerektiren problemlerdir. Seçilenlerin kim olduğu önemli, hangi sırada seçildikleri önemli değildir.
12 kisiden 5 kisilik takım: C(12, 5) = 792
Koşullu Seçim Problemleri
"En az 2 kiz olmalı" veya "Ahmet mutlaka seçilmeli" gibi koşullar iceren problemlerdir. Durum analizi ile cozulur.
6 erkek 4 kizdan 3 kisilik komisyon, en az 1 kiz:
Toplam - Hic kiz olmayan = C(10,3) - C(6,3)
= 120 - 20 = 100
Dairesel Permutasyon
Yuvarlak masa, kolye dizimi gibi dairesel durumlarda kullanılır.
n kisi yuvarlak masada: (n-1)! farklı oturma düzeni
6Önemli Noktalar
Mutlaka Bilmen Gerekenler
- Permutasyonda sıra önemli, kombinasyonda sıra önemli değildir
- P(n, r) her zaman C(n, r)'den büyük veya eşittir (r >= 1 için)
- Faktoriyel sadeleştirilirken büyük faktoriyelden küçüğü çıkarılır
- C(n, r) = C(n, n-r) özelligi hesaplamaları kolaylaştırır
- Dairesel permutasyonda bir eleman sabitlenir: (n-1)!
- Tekrarlı permutasyonda tekrar eden elemanların faktoriyeline bölünür
Sık Yapılan Hatalar
- Permutasyon ve kombinasyonu karıştırmak (sıra önemli mi değil mi?)
- Koşullu problemlerde tüm durumları göz önünde bulundurmamak
- 0! = 1 olduğunu unutmak
- Tekrarlı permutasyonda tekrar sayısıni yanlış belirlemek
- Dairesel permutasyon ile doğrusal permutasyonu karıştırmak
7Pratik Sorular
Öğrendiklerini test et! Aşağıdaki soruları çözmeye çalış.
7 öğrenci bir sıra halinde kaç farklı şekilde dizilir?
10 kitaptan 3 tanesini seçmenin kaç yolu vardir?
"ISTANBUL" kelimesinin harfleri ile kaç farklı anlamli ya da anlamsiz kelime yazilabilir?
5 erkek ve 4 kiz öğrenciden, en az 2 kiz bulunacak şekilde 4 kisilik komisyon kaç farklı şekilde oluşturulabilir?
8 kisi yuvarlak bir masada oturacaktir. Belirli 2 kisi yan yana oturmak istiyorsa kaç farklı oturma düzeni mümkündür?