İçindekiler
1Olasılık Nedir?
Olasılık, bir olayın gerçekleşme ihtimalinin sayısal ifadesidir. 0 ile 1 arasında bir değer alır: 0 imkansız, 1 kesin demektir.
Günlük hayattan örnek: Bir zar attığında 6 gelme olasılığı 1/6'dır. Çünkü 6 olası sonuçtan sadece 1 tanesi "6"dır.
Temel Özellikler
0 ≤ P(A) ≤ 1 (her olasılık 0 ile 1 arasındadır)
P(kesin olay) = 1, P(imkansız olay) = 0
P(A) + P(A') = 1 (tümleyen kuralı)
2Deney, Olay ve Örneklem Uzayı
Deney (Rassal Deney)
Sonucu önceden kesin olarak bilinmeyen, tekrarlanabilen işlemlerdir. Örnek: Zar atma, yazı-tura atma, torba çekme.
Örneklem Uzayı (S)
Bir deneyin tüm olası sonuçlarının kümesidir.
Zar atma: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} → n(S) = 6
Yazı-tura: S = {Y, T} → n(S) = 2
İki zar atma: n(S) = 6 × 6 = 36
Olay (A)
Örneklem uzayının alt kümesidir. İlgilendiğimiz sonuçları içerir. Örnek: "Zarda çift sayı gelme" olayı → A = {2, 4, 6}
3Temel Olasılık Formülü
P(A) = n(A) / n(S)
Olasılık = İstenen sonuç sayısı / Toplam sonuç sayısı
Bu formül, tüm sonuçların eşit olasılıklı olduğu (klasik olasılık) durumlarda geçerlidir.
Birleşim (A veya B)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
Ayrık olaylarda P(A ∩ B) = 0 olduğundan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Tümleyen (A değil)
P(A') = 1 - P(A)
"En az bir" sorularında tümleyen yöntemi çok kullanışlıdır.
Örnek: Bir zarın tek veya 4'ten büyük gelme olasılığı
A (tek): {1, 3, 5} → P(A) = 3/6
B (4'ten büyük): {5, 6} → P(B) = 2/6
A ∩ B = {5} → P(A ∩ B) = 1/6
P(A ∪ B) = 3/6 + 2/6 - 1/6 = 4/6 = 2/3
4Koşullu Olasılık
B olayının gerçekleştiği bilindiğinde A olayının olasılığıdır. "B olduğuna göre A'nın olasılığı" anlamına gelir.
P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)
B koşulunda A'nın olasılığı
Örnek: İki zar atılıyor. Toplam 8'den büyük geldiğine göre, birinin 6 olma olasılığı?
B (toplam > 8): {(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)} → n(B) = 10
A ∩ B (birinin 6 olması ve toplam > 8): {(3,6),(4,6),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)} → n(A ∩ B) = 7
P(A|B) = 7/10
5Bağımsız Olaylar
İki olay birbirini etkilemiyorsa bağımsızdır. Birinin gerçekleşmesi diğerinin olasılığını değiştirmez.
A ve B bağımsız ise:
P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
Bağımlı vs Bağımsız
Bağımsız: Zar atma ve yazı-tura atma (farklı deneyler)
Bağımlı: Torbadan iade etmeden çekme (her çekim sonraki çekimi etkiler)
Örnek: Yazı-tura 3 kez atılıyor. Hepsinin yazı gelme olasılığı?
Her atışta P(Y) = 1/2 ve atışlar bağımsız.
P(YYY) = 1/2 × 1/2 × 1/2 = 1/8
6Önemli Noktalar
Mutlaka Bilmen Gerekenler
- Olasılık her zaman 0 ile 1 arasındadır
- "En az bir" sorularında 1 - P(hiçbiri) yöntemi çok etkilidir
- Birleşim formülünde kesişimi çıkarmayı unutma
- Bağımsız olaylarda çarpma, ayrık olaylarda toplama kullanılır
- Koşullu olasılıkta örneklem uzayı daralır (koşul yeni S olur)
Sık Yapılan Hatalar
- Birleşim formülünde P(A ∩ B) çıkarmayı unutmak
- Bağımlı olayları bağımsız gibi çözmek (iade etmeden çekme)
- Örneklem uzayını yanlış saymak (sıralı/sırasız karıştırma)
- Ayrık olaylarla bağımsız olayları karıştırmak
- Koşullu olasılıkta paydaya tüm örneklem uzayını yazmak
7Pratik Sorular
Öğrendiklerini test et! Aşağıdaki soruları çözmeye çalış.
Bir zar atılıyor. 3'ten büyük sayı gelme olasılığı kaçtır?
Bir torbada 4 kırmızı, 3 mavi, 2 yeşil top var. Rastgele çekilen topun kırmızı veya yeşil olma olasılığı kaçtır?
İki zar atılıyor. Toplamın 7 olma olasılığı kaçtır?
Bir torbada 5 beyaz, 3 siyah top var. İade etmeden 2 top çekiliyor. İkisinin de beyaz olma olasılığı kaçtır?
Bir sınıfta %60 öğrenci futbol, %40 basketbol seviyor. %25 her ikisini de seviyor. Futbol seven birinin basketbol da sevme olasılığı kaçtır?