İçindekiler
1Oran Nedir?
Oran, aynı birimle ölçülen iki büyüklüğün birbirine bölümüdür. a ve b iki büyüklük ise, a'nın b'ye oranı a/b şeklinde gösterilir ve a:b olarak okunur.
Oran = a / b (b ≠ 0)
a: öncül | b: ardıl | Okunuşu: a bölü b
Örneğin bir sınıfta 20 kız ve 30 erkek öğrenci varsa, kız/erkek oranı 20/30 = 2/3 tür. Bu oran "her 2 kıza karşılık 3 erkek var" demektir.
Oran Özellikleri
Birimsizdir: Oran, iki büyüklüğün bölümü olduğundan birimler sadeleşir.
Sadeleştirilebilir: 20/30 = 2/3 gibi en sade hale getirilir.
Sırası önemlidir: a/b ile b/a farklı oranlar ifade eder.
Oranla İlgili İşlemler
a/b = 3/5 ise a = 3k, b = 5k olarak yazılabilir (k bir tam sayıdır). Bu ifade oranla ilgili problemlerde en çok kullanılan tekniktir. Oranı k cinsinden yazmak çözümü kolaylaştırır.
2Orantı Nedir?
Orantı, iki oranın birbirine eşit olmasıdır. İki büyüklük arasında belirli bir ilişki varsa bu büyüklükler orantılıdır denir. a/b = c/d ise bu dört sayı orantılıdır.
a / b = c / d ⟹ a · d = b · c
Çapraz çarpım eşitliği (içler dışlar çarpımı)
Örnek
x / 6 = 10 / 15 orantısında x'i bulalım:
x · 15 = 6 · 10 (çapraz çarpım)
15x = 60
x = 4
3Doğru Orantı
İki büyüklükten biri artarken diğeri de aynı oranda artıyorsa, bu iki büyüklük doğru orantılıdır. Birisi 2 katına çıkarsa diğeri de 2 katına çıkar. Oranları sabittir.
a₁ / b₁ = a₂ / b₂ = k (sabit)
Doğru orantıda oran sabittir
Örnek
3 kg elmanın fiyatı 45 TL ise 5 kg elmanın fiyatı kaç TL'dir?
Miktar artınca fiyat da artar → Doğru orantı
3 / 45 = 5 / x
3x = 225
x = 75 TL
Doğru Orantıya Örnekler
Miktar - Fiyat: Daha çok alırsan daha çok ödersin
Hız sabitken Yol - Zaman: Daha çok gidersen daha çok zaman geçer
İşçi sayısı sabitken İş miktarı - Zaman: Daha çok iş, daha çok zaman
4Ters Orantı
İki büyüklükten biri artarken diğeri aynı oranda azalıyorsa, bu iki büyüklük ters orantılıdır. Birisi 2 katına çıkarsa diğeri yarısına iner. Çarpımları sabittir.
a₁ · b₁ = a₂ · b₂ = k (sabit)
Ters orantıda çarpım sabittir
Örnek
Bir işi 6 işçi 10 günde bitiriyorsa, 15 işçi kaç günde bitirir?
İşçi artınca süre azalır → Ters orantı
6 · 10 = 15 · x
60 = 15x
x = 4 gün
Ters Orantıya Örnekler
İşçi sayısı - Süre: Daha çok işçi, daha kısa süre
Yol sabitken Hız - Zaman: Daha hızlı gidersen daha az zaman
Musluk sayısı - Dolum süresi: Daha çok musluk, daha kısa süre
5Bileşik Orantı
Üç veya daha fazla büyüklük arasındaki orantı ilişkisine bileşik orantı denir. Her bir büyüklüğün sonuçla doğru mu ters mi orantılı olduğu ayrı ayrı belirlenir.
Çözüm Yöntemi
- 1. Tüm büyüklükleri alt alta yaz
- 2. Her büyüklüğün aranan ile doğru mu ters mi orantılı olduğunu belirle
- 3. Doğru orantılı olanları aynı tarafa, ters orantılı olanları çapraz yaz
- 4. Çapraz çarpımla çöz
Örnek
8 işçi günde 6 saat çalışarak bir işi 15 günde bitirebiliyor.
12 işçi günde 8 saat çalışırsa aynı işi kaç günde bitirir?
İşçi arttı → Süre azalır (ters orantı)
Saat arttı → Süre azalır (ters orantı)
8 · 6 · 15 = 12 · 8 · x
720 = 96x
x = 7,5 gün
6Önemli Noktalar
Mutlaka Bilmen Gerekenler
- Oran = a/b dir ve birimsizdir
- Doğru orantıda oran sabittir (biri artarsa diğeri de artar)
- Ters orantıda çarpım sabittir (biri artarsa diğeri azalır)
- Çapraz çarpım: a/b = c/d ise a·d = b·c
- a/b = k ise a = kb olarak yazılabilir
- Bileşik orantıda her büyüklüğü ayrı ayrı değerlendir
Sık Yapılan Hatalar
- Doğru orantı ile ters orantıyı karıştırmak
- Bileşik orantıda büyüklüklerin ilişkisini yanlış belirlemek
- Oranı kurarken sıralamaya dikkat etmemek
- Farklı birimleri dönüştürmeden orantı kurmak (dakika vs saat)
- Çapraz çarpımda çarpma hatasına düşmek
7Pratik Sorular
Öğrendiklerini test et! Aşağıdaki soruları çözmeye çalış.
Bir araba 3 saatte 240 km yol alıyorsa, 5 saatte kaç km yol alır?
Bir havuzu 4 musluk 6 saatte dolduruyor. 8 musluk aynı havuzu kaç saatte doldurur?
a/b = 2/3 ve a + b = 35 ise a ve b değerlerini bulunuz.
Bir haritada 4 cm, gerçekte 120 km'ye karşılık gelmektedir. Gerçekte 210 km olan iki şehir arası haritada kaç cm'dir?
10 işçi günde 8 saat çalışarak bir duvarı 12 günde örüyor. 15 işçi günde 6 saat çalışırsa aynı duvarı kaç günde örer?